什么情况下应该咋唬 什么情况下应该咋唬 预期回报和纯策略 首先,让我们追溯到最初始的问题。我们打扑克的目标是什么?是赢钱。更准确地说,是赢尽可能多的钱。在做决定的时
什么情况下应该咋唬
预期回报和纯策略
首先,让我们追溯到最初始的问题。我们打扑克的目标是什么?是赢钱。更准确地说,是赢尽可能多的钱。在做决定的时候,我们要问问自己,哪个行动会有最大的预期回报?
在我们的例子中,如果你有一手能获胜的牌,你会做价值下注。在你下注以后,你的对手可能跟注(y),也 可能弃牌(1 – y)。当他跟注时,你会赢下现有的底池,加上你的对手跟注的钱,也就是P + B。当他弃牌时,你只会赢得现有的底池,也就是P。(现有底池
通常指在你下注之前,初始的底池大小。) 因此,如果你有一手获胜牌,你的预期回报Ew (w代表获胜winning
)会是
Ew = y(P + B) + (1 – y)P.
如果是一手会失利的牌(你的听牌失败了),情况就会变得更复杂一些。你有可能咋唬(x),也可能过牌放弃这手牌(1 – x)。
如果你选择咋唬,你的对手还是有可能跟注(y),或弃牌(1 – y)。当他跟注时,你会损失这次下注,所以你的净回报是负的,也就是–B。 当他弃牌时,你会赢得现有底池,也就是P。所以当你咋唬时,你的预期回报由这两部分组成:
(1 – y)P – yB.
如果你选择过牌(放弃这手牌),你不会赢到一分钱,所以这种情况你的预期回报是0.综合这些,在你持有一手会失利的牌时,你的预期回报 El (l代表失败losing
)会是
El = (1 – x)0 + x(1 – y)P – yB
(综合以上几种情况的可能性).
第一部分是0,我们可以直接忽略,公式变为
El = x(1 – y)P – yB.
如果你知道你的对手从来不跟注(y = 0),你的预期回报公式会简化为:
El, y=0 = xP
为了最大化你的预期回报,你必须让x = 1,这意味着你应该一直咋唬。
而如果你的对手总是跟注(y = 1),你的预期回报公式变为
El, y=1 = – xB
在这种情况下,为了最大化你的预期回报,你必须让x = 0,也就意味着你应该永远不要咋唬。(记住这条法则永远不要咋唬一个跟注站
)
用博弈论的方法,我们只计算了你的最佳状况,知道你的对手在两种特殊情况时的策略。但是这是两种非常极端的情况,所以这被称为纯策略。在现实的扑克游戏中,对手们会更加难以预料。他会有一定的概率跟注你的下注(y不是0也不是1)。他会有一种混合策略。
最佳策略
你的对手可以选择一个跟注频率y,可以让你无论使用什么策略时(也就是无论x是多少),你的预期回报都不会改变。我们用yopt表示这个跟注频率(在某种意义上yopt是y的最佳值).
yopt很容易计算。你可以在后面的附录里找到它的计算公式:
yopt = P/(P + B).
在我们的例子中,P = B = $100,所以yopt = 1/2。如果你的对手有恰好一半的时候会跟注,你就不能在策略上战胜他了。如果你的对手根据y = yopt的策略打牌,你的预期回报将会是
El,y=yopt = xPB/(P + B) – PB/(P + B) = 0.
(就是把yopt带入求El的一般公式中). 如果x没有出现在公式中,结果也不会发生变化,还是0,所以无论你选择什么策略(无论x是多少),你都不能提高或降低你的预期回报。
有趣的是yopt只取决于底池大小和下注大小,不受q的影响。这表明yopt并不总是y的最佳值。例如当 q=1时,也就是你的对手确定你有一手获胜牌,他就不会有一半的次数跟注,事实上他根本不会跟注。他会使用y=0的策略。我们会在以后的内容中看到,在什 么意义上yopt才是最佳值。
同样的,你也可以选择一个x,而无论对手选择什么样的策略(无论y是多少),他的预期回报都是一样的。我们用xopt表示这个x的特殊值。但是,求xopt的值会更复杂一些,它的公式是
xopt = qB/(1 – q)(P + B).
(如果你对细节感兴趣,请参考下面附录的内容)如果你常常用会失败的牌咋唬,对手的预期回报为
Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B).
这个公式里没有y,所以你的对手不能改变他的预期回报。
在我们的例子中P = B = $100,q = 0.2,所以xopt = 1/8。如果你有1/8的可能性咋唬,你的对手就不能在策略上战胜你了,即使他非常善于观察,了解你的策略(知道x = xopt)。如果你咋唬的可能性比1/8较多或较少,那些善于观察的对手就会发掘出你策略上的弱点。所以当你面对一个非常优秀的对手时,xopt可以确保 你的策略是最佳的。
一个优秀的对手会多么频繁地跟注你的下注?yopt已经给出了答案。如果你根据x = xopt的策略打牌,他可以选择任何策略,但都不能提高或降低他们的预期回报。如果对手不使用y = yopt的策略打牌,作为一个善于观察的玩家,你就可以利用他的错误,选择最佳的回应方式。唯一不能利用他策略上的错误的情况是他的y = yopt,现在无论你使用怎样的策略,你的预期回报都不会改变。要记住,如果你不使用xopt的策略,你的对手也会调整策略来利用你的缺陷。
现在我们知道xopt和yopt在什么时候才是最佳的:在它们可以提供不可被对手利用的策略时。在博弈论中, 这两个策略(xopt, yopt )被称为纳什均衡点。这在博弈论和经济学中都是非常重要的概念。(没错,就是电影 美丽心灵
中的纳什,1994年诺贝尔经济学奖的获得者). 现在我们知道它在扑克中也扮演着重要的角色。
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